Som en fortsättning på förra veckans blogginlägg: Om intuitionen måste underställas metod, uppstår nästa fråga: varför ser spridningen i prisdata ofta ut på ett visst sätt? Varför återkommer den välbekanta klockformen så ofta när avvikelser från ett typiskt värde sammanställs?
I Gauss’ anda är svaret inte att ”marknaden är normalfördelad”, utan att en viss form framtvingas av hur vi kombinerar information.
Utgångspunkten är enkel och fenomenisk: en värderingsprocess kan delas upp i delbidrag. Varje jämförelseobjekt bidrar med en avvikelse från det uppskattade värdet. Dessa bidrag kan summeras. Det finns alltså en ackumulerbar storhet – en sammanlagd ”kostnad” för avvikelse.
När vi kräver tre saker av denna kostnad uppstår en bestämd struktur:
- Den ska vara noll när avvikelsen är noll.
- Den ska vara symmetrisk: en övervärdering och en undervärdering av samma storlek behandlas lika.
- Den ska vara stabil under små förändringar.
Under dessa krav kan kostnaden lokalt inte börja linjärt. Den första icke-triviala stabila termen är kvadratisk. Avvikelsens kostnad måste därför, nära centrum, vara proportionell mot kvadraten på avvikelsen.
Detta är inte statistik. Det är en konsekvens av symmetri och stabilitet.
Nästa steg gäller hur delbidrag kombineras. Om två oberoende avvikelser läggs samman, ska deras totala kostnad vara summan av de enskilda kostnaderna. Samtidigt ska frekvensen av en kombinerad avvikelse bero endast på den totala kostnaden. Detta kräver en särskild global kompositionsregel: lika bidrag ska kombineras på samma sätt oavsett uppdelning.
Den enda kontinuerliga form som uppfyller kravet att additiva kostnader motsvarar multiplikativ frekvens är en exponentiell funktion. När den kvadratiska lokalkostnaden projiceras genom denna globala regel uppstår:
p(x) proportionell mot exp(-x^2 / (2 sigma^2)).
Detta är Gausskurvan.
Normalformen är alltså inte ett påstående om hur världen ”egentligen” är beskaffad. Den är den stabila projektionen av tre metodkrav:
- additiv ackumulation,
- symmetri utan privilegierad riktning,
- konsekvent global komposition.
När prisavvikelser i bostadsdata sammanställs och vägs enligt en regel som behandlar alla observationer lika, tenderar spridningen därför att anta denna form. Inte för att marknaden följer en mystisk lag, utan för att metoden framtvingar en viss stabil struktur när avvikelser summeras.
Här möts åter intuition och vetande. Intuitionen kan uppfatta att extrema prisutfall är ovanliga och att små avvikelser är vanligare. Men först när denna insikt formuleras i en konsekvent regel för hur avvikelser ackumuleras och vägs, uppstår en form som är rationellt motiverad.
Precis som hängkedjan inte är vald utan framtvingad av en extremalprincip, är normalformen inte en gissning utan en metodisk konsekvens. Den är den stabila figur som återstår när inga godtyckliga riktningar eller undantag tillåts.
För bostadsvärdering innebär detta att spridningen kring ett statistiskt värde inte är en dekorativ kurva i en rapport. Den är den matematiska spegelbilden av hur vi valt att behandla avvikelser. Metoden formar formen.
Och därmed sluts cirkeln tillbaka till Gauss: vetande uppstår inte genom att se en kurva, utan genom att förstå varför just denna kurva måste uppträda när kraven på symmetri, stabilitet och konsekvens tas på allvar.