Ingress
Vi går ett steg längre än förra inlägget. Den klassiska analysen arbetar med infinitesimalen. Vi skriver:
ds = (ds/dy) * dy
Detta är ett språk för lokal variation. Det betyder inte att det finns ”oändligt små ting”, utan att förändring beskrivs genom lokala proportioner.
Frågan är: kan detta språk gälla utan gräns?
1. Additiv verkan och kompositionsstabilitet
Antag att verkan S är additiv:
S = S1 + S2
Antag vidare att giltighet är kompositionsstabil:
G(S1 + S2) = G(S1) * G(S2)
och att G är kontinuerlig samt att G(0) = 1.
Då följer att G måste ha exponentialform:
G(S) = exp( – S / kappa )
Här är kappa en konstant med dimension verkan.
Exponentens argument måste vara dimensionslöst. Därför kan kappa inte elimineras genom omdefinition. Det är en verklig skala i beskrivningen.
2. Lokal variation och upplösning
Infinitesimalen bygger på att dy kan göras hur liten som helst och fortfarande motsvara en verklig distinktion.
Men observation visar att detta inte är sant utan villkor.
Det finns randfenomen där:
- vidare uppdelning inte ger nya observerbara skillnader
- alternativa beskrivningar börjar överlappa
- separerbarheten försvinner
Det betyder inte att infinitesimalen är fel.
Det betyder att dess operativa giltighet är begränsad.
3. Två gränser
Det finns en övre gräns där den lokala variationen fortfarande tillhör samma sammanhängande struktur.
Det finns en undre gräns där uppdelning fortfarande motsvarar verkligt separerbara skillnader.
Mellan dessa två fungerar infinitesimalens språk.
Utanför detta intervall:
- över den övre gränsen bryter den lokala beskrivningen samman genom makroskopisk deformation
- under den undre gränsen kollapsar distinktionen genom brist på upplösning
Infinitesimalens verkan är alltså inte obegränsad.
Den är begränsad av två stabila randvillkor.
Formellt kan detta uttryckas som:
K(A) > delta(ds/dy) > K(a)
Detta betyder inte att derivatan är fel.
Det betyder att dess operativa giltighet ligger inom ett intervall.
Infinitesimalen är ett språk. Men språket har en verkningszon.